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Problema dos aniversários

Num grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia?

Este problema tem surpreendido estudantes pois, dependendo do valor de r , a probabilidade procurada é bastante alta. Vamos considerar o ano com 365 dias e, assim, assumiremos r < 365 pois para r \geq 365 a probabilidade desejada seria 1.

O espaço amostral \Omega será o conjunto de todas as seqüências formadas com as datas dos aniversários (associamos cada data a um dos 365 dias do ano). Pode ser verificado que o conjunto das partes de um espaço amostral enumerável é uma \sigma-álgebra. Dessa forma, podemos tomar a \sigma-álgebra F como sendo o conjunto das partes de \Omega e, para qualquer A \in F, P(A) é o quociente entre o número de elementos de A por 365^r, que é o número total de seqüências de tamanho r. Assim, assuminos que todos os dias são eqüiprováveis.

Seja E o evento de interesse, isto é, E = {pelo menos duas pessoas aniversariam no mesmo dia}. Para o complementar de E, temos E^c = {ninguém faz aniversário no mesmo dia}. Iremos calcular a probabilidade de E^c com o auxílio do Princípio Fundamental da Contagem.

Considerando a escolha das idades como sendo r etapas sucessivas precisamos, para as datas serem todas distintas, eliminar as que forem escolhidas em etapas anteriores. O agrupamento formado é um arranjo e, dessa forma, para o total de maneiras de escolhermos r datas diferentes de aniversário, teremos

{(365 )}_{r} = 365\times 364 \times 363\times \ldots \times (365 - r + 1)

Em outras palavras, o produto acima é o número de seqüências que satisfazem a condição de datas distintas de aniversário. Então,

P(E^c) = \frac{{(365)}_{r} }{365^r} = 1\left(1 - \frac{1}{365} \right)\left(1 - \frac{2}{365} \right)\ldots\left(1 - \frac{r-1}{365} \right)

Portanto, a probalidade desejada, de pelo menos dois aniversários no mesmo dia, será P(E) = 1 - P(E^c).

O curioso é que para r = 23, um número relativamente baixo de pessoas, a probabilidade de pelo menos dois aniversários coincidentes já é maior que \frac{1}{2}. A tabela a seguir apresenta alguns valores dessa probabilidade em função de r.

Para r = 10, P(E) = 0,1169

Para r = 20, P(E) = 0,4114

Para r = 30, P(E) = 0,7063

Para r = 40, P(E) = 0,8912

Fonte: Transcrição da página 12 do livro Probabilidade e Variáveis Aleatórias, de Marcos Nascimento Magalhões, publicado pela edusp.

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This entry was posted on fevereiro 7, 2008 at 9:28 pm and is filed under matemática, Sem-categoria. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

8 Respostas to “Problema dos aniversários”

  1. maevi fornazari Says:
    agosto 9, 2008 às 9:39 pm

    uma verdadeira porcaria… naum entendi nada…

  2. renata Says:
    agosto 9, 2008 às 9:42 pm

    gostei muito…

  3. demoniodemaxwell Says:
    agosto 21, 2008 às 11:40 pm

    maevi,

    talvez tenha feito a pesquisa errada para chegar aqui. Ou não, afinal o seu e-mail é o mesmo da renata 😀

    renata,

    obrigado pela visita.

  4. Problema das 3 portas « Demônio de Maxwell Says:
    novembro 9, 2008 às 7:58 pm

    […] das 3 portas Probabilidade é um assunto interessante. Nos posts atrasados falamos sobre o problema dos aniversários e vimos que para um grupo de apenas 30 pessoas a probabilidade de termos 2 aniversariantes no mesmo […]

  5. Fernando Says:
    novembro 28, 2008 às 4:34 am

    Muito doido esse problema e também muito complicado de entender, mas é bem interessante.

  6. michael jackson Says:
    julho 1, 2009 às 12:19 pm

    muito complicado

  7. michael jackson Says:
    julho 1, 2009 às 12:20 pm

    eu morri e continuo comentando

  8. elisangela Says:
    julho 1, 2009 às 12:21 pm

    ta difícil

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