Juros Compostos

“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.” Dizem que essa frase foi atribuída a Albert Einstein. Não sei se é verdadeira, mas o fato é que é correta.

Juro composto é o conhecido juros sobre juros, ou seja, é quando o seu juros é reinvestido. Para facilitar, vamos dar um pequeno exemplo antes de entrarmos na matemática dos juros compostos.

Exemplo: Você colocou R$ 1.000,00 em uma aplicação que rende 1% ao mês. No primeiro mês você tem então R$ 1.000,00 x (1 + 0,01) = R$ 1.010,00. No segundo mês você tem R$ 1.010,00 x (1 + 0,01) = R$ 1020,10. Note que enquanto o primeiro rendeu apenas R$ 10,00 o segundo mês rendeu R$ 10,10. Isso acontece pois no segundo mês o rendimento é em cima do valor investido (R$ 1.000,00) e do lucro (R$ 10,00).

Bom, acho que com esse exemplo deu pra ver o poder dos juros compostos. A acumulação de riqueza. Que tal então um pouco de matemática?

Vamos supor que você parta de um capital inicial I , tenha uma rentabilidade média mensal de r e você faça depósitos mensais de D. Quanto dinheiro você terá depois de n meses?

Vamos lá. No primeiro mês você tinha I e fez um depósito de D. Seu dinheiro rendeu r, ou seja, você tem agora:

(I+D)(1+r)

Para facilitar, vamos chamar o termo (1+r) de R. Então por exemplo, se sua rentabilidade é de 1% ao mês, r = 0,01 e R = 1,01.

Substituindo esse valor, ao final do primeiro mês você tem

(I+D)R

Ótimo. No início do segundo mês você deposita mais D e isso vai render mais r. No final do segundo mês você terá:

([I+D]R + D)R

Fazendo isso, no final do terceiro mês você terá:

{[(I+D)R + D]R + D}R

Vamos expandir esse termo:

I({R}^{3}) + D({R}^{3} + D{R}^{2} + D{R}^{1})

Colocando D em evidência temos:

I{R}^{3} + D({R}^{3} + {R}^{2} + {R}^{1})

Aqui já é fácil generalizar para uma quantidade de n meses. Ao final de n meses você terá:

I{R}^{n-1} + D({R}^{n} + {R}^{n-1} +... + {R}^{1})

Bom, o primeiro termo da soma é fácil de calcular. O segundo termo não é direto, pois é uma soma de n termos. No entanto, os termos dessa soma é uma progressão geométrica de grau R com termo inicial também igual a R. A soma dos termos de uma PG é dada por:

S = (primeiro termo) * \frac{{razao}^{numeroDeTermos} - 1}{(razao - 1)}

No nosso caso o primeiro termo é R e a razão também é R. Ao final do n meses você vai ter acumulado um capital F tal que:

F = I{R}^{n} + D*R\frac{{R}^{N} - 1}{R - 1}

Vamos a um exemplo prático: Partindo de um capital inicial de R$ 0,00 e fazendo depósitos de R$ 500,00 mensais, com uma taxa de juros média de 1,5% ao mês, ao final de 30 anos (360 meses) você terá:

F =500*1,015*({1,015}^{360} - 1)/(1,015 - 1) = R$ 7.162.64

Você fez 360 depósitos de R$ 500,00, ou seja, você depositou um total de R$ 180.000,00 e, no final você tem quase 7 milhões de reais apenas de lucro. Esse é o poder dos juros compostos! Por que isso acontece? Veja novamente a equação. Pode se perceber que o resultado final é diretamente proporcional ao montante depositado mensalmente e ao capital inicial. Já a relação com entre o montante final e a taxa de juros não é linear, e sim uma exponencial.

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6 Respostas to “Juros Compostos”

  1. Roger Says:

    Muito boa, rapaz.
    Gostei da ideia de postar no outro blog $$ este link.
    Realmente fica difícil, para que não é da área de exatas, o entendimento dos cálculos.
    Um abraço,
    Roger

  2. demoniodemaxwell Says:

    Roger,

    para a grande maioria infelizmente é complicado mesmo. Mas nada impossível😀

    Valeu pela visita ao blog!

  3. angela Says:

    muito obrigado ajudou muito

  4. Biia Says:

    Briiigadaa ^^
    não ajudo muiiiita coiisa mas foi ultil!! =D

  5. SILVIO Says:

    BOM DIA
    PODERIA MANDAR PARA EU A FORMULA DE JURO COMPOSTO?
    EXEMPLO

    2% + 2% NO JURO SIMPLES SERIA 4 % E NO JURO COMPOSTO?

  6. Roberto T Henriques Says:

    Usando o Python no Mac ( ou em qualquer outro sistema)
    a sua formula ficou assim:

    # M = montante
    # P = Parcela
    # i = taxa
    # t = tempo

    i = 0.015 # 1.5% ao mês
    t = 360
    P = 500

    M = P * (1+i) * ((1+i)**t -1)/((1+i)-1)

    print (“%5.2f” % M)

    # M = 7162644.59

    Obs. As linhas com # no inicio são comentarios e referências e não são reconhecidas pelo programa.

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