Posts Tagged ‘probabilidade’

Problema das 3 portas

novembro 9, 2008

Probabilidade é um assunto interessante. Em um post antigo falamos sobre o problema dos aniversários e vimos que para um grupo de apenas 30 pessoas a probabilidade de termos 2 aniversariantes no mesmo dia é de mais de 70%, o que não é muito o senso comum.

Outro problema interessante de probabilidade é o problema das 3 portas. Um apresentador de um programa de televisão chama para o palco uma pessoa que deve escolher entre 3 portas. Uma dessas portas tem prêmios e as outras 2 não tem nada. Inicialmente a pessoa escolhe uma porta e, em seguida, o apresentador abre uma porta vazia. Como sempre tem 2 portas que não tem nada atrás delas, sempre haverá uma porta para o apresentador abrir. Feito isso ele pergunta se você quer trocar de porta. E agora?

A grande maioria das pessoas nao troca de porta. Talvez por supertição, pois escolheu seu número da sorte. Mas o que é melhor, trocar de porta ou não? Ou tanto faz? Vamos resolver o problema sem fazer contas…..

Obviamente a chance de você acertar a porta na primeira escolha é de 1/3, 33,33%. Vamos verificar então o que acontece se você trocar de porta.

Inicialmente temos 3 portas, P1, P2 e P3. E você escolheu a porta P1. Temos 3 possibilidades:

  • O prêmio está atrás da porta P: Nesse caso o apresentador abre uma das portas P2 ou P3. Se você trocar você estará trocando o prêmio por nada.
  • O prêmio está atrás da porta P2: Nesse caso o apresentador abrirá a porta P3. Se você trocar de porta você estará trocando pela porta P1, ou seja, estará trocando nada pelo prêmio.
  • O prêmio está atrás da porta P3: Nesse caso o apresentador abrirá a porta P2. Se você trocar de porta você estará trocando pela porta P1, ou seja, estará trocando nada pelo prêmio.

Observe que das 3 possibilidades, 2 são vencedoras. Sendo assim, a probabilidade de ganhar o prêmio caso você troque de porta é de 2/3, ou 66,67%, ou seja, o dobro de chance de levar para casa o prêmio.

Bom, para facilitar, vamos ver um pequeno programa em Java que faz uma simulação sobre esse problema e nos mostra o resultado. É mais fácil de acreditar…

problema-3-portas1

Obs.: O código acima foi construído de forma a diminuir seu tamanho para publicação nesse blog, por isso o uso de operadores não muito indicado por alguns livros, como o operador ternário (?:).

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Problema dos aniversários

fevereiro 7, 2008

Num grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia?

Este problema tem surpreendido estudantes pois, dependendo do valor de r , a probabilidade procurada é bastante alta. Vamos considerar o ano com 365 dias e, assim, assumiremos r < 365 pois para r \geq 365 a probabilidade desejada seria 1.

O espaço amostral \Omega será o conjunto de todas as seqüências formadas com as datas dos aniversários (associamos cada data a um dos 365 dias do ano). Pode ser verificado que o conjunto das partes de um espaço amostral enumerável é uma \sigma-álgebra. Dessa forma, podemos tomar a \sigma-álgebra F como sendo o conjunto das partes de \Omega e, para qualquer A \in F, P(A) é o quociente entre o número de elementos de A por 365^r, que é o número total de seqüências de tamanho r. Assim, assuminos que todos os dias são eqüiprováveis.

Seja E o evento de interesse, isto é, E = {pelo menos duas pessoas aniversariam no mesmo dia}. Para o complementar de E, temos E^c = {ninguém faz aniversário no mesmo dia}. Iremos calcular a probabilidade de E^c com o auxílio do Princípio Fundamental da Contagem.

Considerando a escolha das idades como sendo r etapas sucessivas precisamos, para as datas serem todas distintas, eliminar as que forem escolhidas em etapas anteriores. O agrupamento formado é um arranjo e, dessa forma, para o total de maneiras de escolhermos r datas diferentes de aniversário, teremos

{(365 )}_{r} = 365\times 364 \times 363\times \ldots \times (365 - r + 1)

Em outras palavras, o produto acima é o número de seqüências que satisfazem a condição de datas distintas de aniversário. Então,

P(E^c) = \frac{{(365)}_{r} }{365^r} = 1\left(1 - \frac{1}{365} \right)\left(1 - \frac{2}{365} \right)\ldots\left(1 - \frac{r-1}{365} \right)

Portanto, a probalidade desejada, de pelo menos dois aniversários no mesmo dia, será P(E) = 1 - P(E^c).

O curioso é que para r = 23, um número relativamente baixo de pessoas, a probabilidade de pelo menos dois aniversários coincidentes já é maior que \frac{1}{2}. A tabela a seguir apresenta alguns valores dessa probabilidade em função de r.

Para r = 10, P(E) = 0,1169

Para r = 20, P(E) = 0,4114

Para r = 30, P(E) = 0,7063

Para r = 40, P(E) = 0,8912

Fonte: Transcrição da página 12 do livro Probabilidade e Variáveis Aleatórias, de Marcos Nascimento Magalhões, publicado pela edusp.