Problema das 3 portas

Probabilidade é um assunto interessante. Em um post antigo falamos sobre o problema dos aniversários e vimos que para um grupo de apenas 30 pessoas a probabilidade de termos 2 aniversariantes no mesmo dia é de mais de 70%, o que não é muito o senso comum.

Outro problema interessante de probabilidade é o problema das 3 portas. Um apresentador de um programa de televisão chama para o palco uma pessoa que deve escolher entre 3 portas. Uma dessas portas tem prêmios e as outras 2 não tem nada. Inicialmente a pessoa escolhe uma porta e, em seguida, o apresentador abre uma porta vazia. Como sempre tem 2 portas que não tem nada atrás delas, sempre haverá uma porta para o apresentador abrir. Feito isso ele pergunta se você quer trocar de porta. E agora?

A grande maioria das pessoas nao troca de porta. Talvez por supertição, pois escolheu seu número da sorte. Mas o que é melhor, trocar de porta ou não? Ou tanto faz? Vamos resolver o problema sem fazer contas…..

Obviamente a chance de você acertar a porta na primeira escolha é de 1/3, 33,33%. Vamos verificar então o que acontece se você trocar de porta.

Inicialmente temos 3 portas, P1, P2 e P3. E você escolheu a porta P1. Temos 3 possibilidades:

  • O prêmio está atrás da porta P: Nesse caso o apresentador abre uma das portas P2 ou P3. Se você trocar você estará trocando o prêmio por nada.
  • O prêmio está atrás da porta P2: Nesse caso o apresentador abrirá a porta P3. Se você trocar de porta você estará trocando pela porta P1, ou seja, estará trocando nada pelo prêmio.
  • O prêmio está atrás da porta P3: Nesse caso o apresentador abrirá a porta P2. Se você trocar de porta você estará trocando pela porta P1, ou seja, estará trocando nada pelo prêmio.

Observe que das 3 possibilidades, 2 são vencedoras. Sendo assim, a probabilidade de ganhar o prêmio caso você troque de porta é de 2/3, ou 66,67%, ou seja, o dobro de chance de levar para casa o prêmio.

Bom, para facilitar, vamos ver um pequeno programa em Java que faz uma simulação sobre esse problema e nos mostra o resultado. É mais fácil de acreditar…

problema-3-portas1

Obs.: O código acima foi construído de forma a diminuir seu tamanho para publicação nesse blog, por isso o uso de operadores não muito indicado por alguns livros, como o operador ternário (?:).

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5 Respostas to “Problema das 3 portas”

  1. Fernando Says:

    Estou com uma dúvida, se voce escolher a porta P1 e o premio realmente estiver nela o apresentador abrirá a porta P2 ou P3, se ele abrir P2 e você trocar,trocará o premio por nada e se ele abrir a P3 e voce trocar para a P2, você trocará o premio por nada.Seguindo esse raciocínio seria 50% de chance.Por que o evento 1 é tratado apenas de uma maneira e não como essas duas que eu tentei explicar ????

  2. demoniodemaxwell Says:

    Olá Fernando!

    Nesse problema, o convidado escolhe 1 porta e depois resolve se ele quer trocar ou não. A informação que temos é a porta que ele escolheu e ele escolhe uma porta das três.

    Se ele não trocar de porta está claro que a probabilidade de acerto é de 33%, correto?

    Se ele trocar de porta, a única chance dele perder é caso ele tenha acertado a porta na sua primeira tentativa. Ou seja, na situação inicial ele tinha 1/3 chances de ganhar e 2/3 de chances de perder. Se ele mudar de porta, como a apresentador abriu uma porta sem nada, ele só vai perder se ele tiver escolhido a porta correta na situação inicial. Como essa chance é de 1/3, ele terá 1/3 de probabilidade de perder e 2/3 de ganhar.

    Acho que o que você está confundindo é por que o apresentador tem que abrir UMA porta depois. Se você escolheu inicialmente uma porta errada ele necessariamente vai ter que escolher a outra. Se você escolheu inicialmente a porta correta o apresentador vai ter que escolher entre UMA das DUAS portas erradas, não fazendo diferença no resultado final (caso ele troque de porta).

    Talvez eu não esteja sabendo explicar direito, por isso fiz uma pequena pesquisa no google e trouxe um link do wikipedia:

    http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

    Obrigado pela vista.

  3. Rolim Says:

    Este é problema muito usuário em Probabilidade. O que o amigo quis dizer, eu acho, é que MATEMATICAMENTE, se voce trocar de porta, voce tera uma chance maior de acertar o premio. Porem, se voce nao mudar de porta, voce ainda tem a chance inicial(1/3) de ganha-lo. Ou seja, se trocar de porta suas chances de ganhar AUMENTARAO, mas NAO SERA SEMPRE que voce ganhara trocando de porta, pois ainda existe ALGUMA chance(1/3) de que, se voce nao mudar de porta, voce ganhara o premio.

  4. Diogo Santos Says:

    Filosofia x Matemática
    Por que não posso desconsiderar a situação inicial, já que se abrirmos a porta 3, eliminamos ela automaticamente? Já que então restam duas portas, onde uma está o prêmio e outra não tem nada..
    Outra situação exemplificativa:
    Então se escolhesse a porta 1 e o apresentador abrisse a porta 2 sabendo ele que o prêmio está na porta 1 e esteja usando psicologia reversa e a própria matemática para que você escolha a porta 3, se você for um bom matemático claramente irá mudar para a porta 3.. Então você perde o jogo..
    Por que não posso dizer que o apresentador transformou os 33,3% iniciais em 50% ao seu favor usando lúdica filosófica?

  5. Diogo Santos Says:

    E se inicialmente escolhesse a porta de número 2?
    Seria a mesma resolução?

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