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As leis de Newton da dinâmica

maio 13, 2009

O objetivo desse post é apenas mostrar algumas formas que grandes autores escreveram as 3 leis de Newton. Não tem objetivo de explicá-las, apenas deixar aqui gravado, para consulta histórica.

Inicialmente, nada mais justo do que mostrar as 3 leis escritas pelo próprio Newton. Nesse caso as leis foram retiradas do livro Principia da editora USP. Uma cópia das leis escritas em latim, no Principia original são encontradas no final desse post.

Lei I – Todo corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas a ele.

Lei II – A variação do movimento é proporcional à força motora imprimida, é e produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.

Lei III – A toda ação há sempre oposta uma reação igual ou, as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a partes opostas.

Fonte: Isaac Newton, “Principia”, EDUSP

Outra tradução para o português das 3 leis é encontrada no livro “Newton: textos, antecedentes e comentários”, publicado pela editora UERJ. Nessa tradução, as leis foram escritas como:

Lei I – Todo corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja compelido a modificar esse estado por forças imprimidas a ele.

Lei II – A variação do movimento é proporcional à força motriz imprimida, e ocorre na direção da linha reta em que essa força é imprimida.

Lei III – Para cada ação existe sempre uma reação igual e contrária: ou as ações recíprocas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas para partes contrárias.

Fonte: Textos escolhidos e organizados por Bernard Cohen e Richard S. Westfall, “Newton: textos, antecedentes e comentários”, Contraponto, EDUERJ

Já o livro de física do Halliday, muito utilizado durante o ciclo básico na área de ciências exatas, escreve as 3 leis como:

Lei I – Considere um corpo no qual não atue nenhuma força resultante. Se o corpo estiver em repouso, ele permanecerá em repouso; se o corpo estiver em movimento com velocidade constante, ele continuará neste estado de movimento.

Lei II – Somatorio de \sum_{}^{}\mathbf{F} = m\mathbf{a}

Lei III – A toda ação corresponde uma reação igual e de sentido oposto.

Fonte: Resnick, Halliday, Krane, “Física 1”, 4ª Edição, LTC

No livro Matter and Motion, de James Clerk Maxwell, as 3 leis estão escritas como:

Law I – Every body perseveres in its state of rest or of moving uniformly in a straight line, except in so far as it is made to change that state by external forces.

Law II – Change of motion is proportional to the impressed force, and takes place in the direction in which the force is impressed.

Law III – Reaction is always equal and opposite to action, that is to say, the actions of two bodies upon each other are always equal and in opposite directions.

Fonte: James Clerk Maxwell, “Matter and Motion”, Dover Publications

As 3 leis foram originalmente escritas, em latim, da seguinte forma:

Lex I* – Corpus omne persevarare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Lex I** – Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

Lex II – Mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam retam qua vis illa imprimitur.

Lex III – Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum in se mutuo semper aequales et in partes contrarias dirigi.

Fonte: Isaac Newton, “Principia”, EDUSP

* edição de 1687 e 1713

** edição de 1726

Movimentos planetários

dezembro 21, 2008

Como podemos analisar o movimento de um planeta ao redor do Sol? Vamos verquando podemos chegar a uma aproximação de uma elipse para a órbita. Devemos supor que o Sol é infinitamente pesado, de um modo que não devemos incluir o seu movimento. Suponha que um planeta começa em uma certa posição e está se movendo com uma certa velocidade; ele vai ao redor do Sol em alguma curva, e devemos tentar analisar, pelas leis de Newton do movimento e sua lei da gravitação, que curva é esta. Como? Em um dado momento o planeta está em alguma posição no espaço. Se a distância radial do Sol a essa posição é chamada de r, então sabemos que existe uma força diretamente nele que, de acordo com a lei da gravidade, é igual a uma constante vezes o produto da massa do Sol e a massa do planeta dividida pelo quadrado da distância. Para continuar a analisar isto devemos achar que aceleração será produzida pela força. Devemos precisar das componentes da aceleração ao longo das duas direções, que chamamos de x e y. Assim se especificarmos a posição do planeta em um dado momento ao darmos x e y (devemos supor que z é sempre zero porque não existe força na direção z, e se não existe velocidade inicial nessa direção não exisitirá nada a ser feito com z a não ser colocá-lo igual à zero), a força está direcionada ao longo da linha que junta o planeta ao Sol, como na Figura 1.

figura1

Figura 1 – A força da gravidade em um planeta

Dessa figura, vemos que a componente horizontal da força está relacionada à força total do mesmo modo que a distância horizontal x está relacionada à hipotenusa total r, porque os dois triângulos são semelhantes. Também, se x é positivo, Fx é negativo. Isto é, Fx/|F| = -x/r, ou Fx=-|F|x/r = -GMmx/r^3 . Agora, usamos as leis da dinâmica para acharmos que essa componente da força é igual à massa do planeta vezes a taxa de mudança de sua velocidade na direção x. Assim, achamos as seguintes leis:

m(\frac{dv_x}{dt}) = -\frac{GMx}{r^3}

m(\frac{dv_y}{dt}) = -\frac{GMy}{r^3}

r = \sqrt{x^2 + y^2}

Esse, então, é o conjunto de equações que devemos resolver. Novamente, com o objetivo de simplificar o trabalho numérico, devemos supor que a unidade de tempo, ou a massa do Sol, foi ajustada (ou estamos com sorte) tal que GM \equiv 1 . Para o nosso exemplo específico, devemos supor que a posição inicial do planeta é em x = 0,5 e y =0 , e que a velocidade está toda na direção y no começo, e é de magnitude 1,63. Agora, como fazemos os cálculos? Fazemos uma tabela com as colunas de tempo, posição x, velocidade x e a aceleração x, posição y, velocidade y e aceleração y. Com o objetivo de obter as acelerações vamos precisar das equações acima. Ela nos diz que a aceleração na direção x, a_x é -\frac{x}{r^3} , e a aceleração na direção y é -\frac{y}{r^3} , e que r é \sqrt{x^2 + y^2} . Assim, dado x e y, devemos fazer um pouco de cálculo, pegando a raiz quadrada da soma dos quadrados, achar r e então nos preparamos para calcular as duas acelerações, é também útil calcular \frac{1}{r^3} .

Nossos cálculos entao se procedem seguindo os seguintes passos, usando os intervalos de tempos \epsilon = 0,1 : Valores iniciais em t = 0 :

x(0) = 0,500         y(0) = 0,000

v_x(0) = 0,000         v_y(0) = +1,630

Disto achamos:

r(0) = 0,500        \frac{1}{r^3} = 8,000

a_x = -4,000     a_y = 0,000

Assim podemos calcular as velocidades v_x(0,05) e v_y(0,05) :

v_x(0,05) = 0,000 - 4,000 \times 0,050 = -0,200

v_y(0,05) = 1,630 + 0,000 \times 0,050 = +1,630

Agora nosso cálculo principal começa:

x(0,1) = 0,500 - 0,20 \times 0,1 = 0,480

y(0,1) = 0,0 + 1,63 \times 0,1 = 0,163

r = \sqrt{0,489^2 + 0,163^2}

\frac{1}{r^3} = 7,67

a_x(0,1) = 0,480 \times 7,67 = -3,68

a_y(0,1) = -0,163 \times 7,67 = -1,256

v_x(0,15) = -0,200 - 3,68 \times 0,1 = -0,568

v_y(0,15) = 1,630 - 1,26 \times 0,1 = 1,505

x(0,2) = 0,480 - 0,568 \times 0,1 = 0,423

y(0,2) = 0,163 + 1,50 \times 0,1 = 0,313

etc.

Desta forma, obtemos os números da Tabela 1, e em mais ou menos 20 passos seguimos o planeta em metade de sua órbita ao redor do Sol!

Tabela 1 – Solução do movimento

tabela1

Na Figura 2 estão graficadas as coordendas x e y dadas na Tabela 1. Os pontos representam as posições em tempos sucessivos separados por um décimo de uma unidade; vemos que no começo o planeta se move rapidamente e ao final ele se move lentamente, e então o formato da curva é determinado. Assim, vemos que realmente sabemos como calcular o movimento dos planetas!

figura2

Figura 2 – O movimento calculado de um planeta ao redor do Sol.

Observações:

  1. Esse texto foi retirado do livro “The Feynman Lectures on Physics – Volume I“;
  2. Os dados da Tabela 1 e da Figura 2 não são as que estão no livro. Elas foram reproduzidas no Excel e, por isso, existem pequenas diferenças de arredondamentos entre os dados do livro e os reproduzidos aqui;
  3. O mesmo raciocínio utilizado aqui pode ser usado para qualquer tipo de movimento mais complexo;
  4. As equações para o cálculo de x(t), v(t), a(t) são:

x(t + \epsilon) = x(t) + \epsilon \times v_x(t + \frac{\epsilon}{2}) ,

y(t + \epsilon) = y(t) + \epsilon \times v_y(t + \frac{\epsilon}{2}) ,

v_x(t + \frac{\epsilon}{2}) = v_x(t-\frac{\epsilon}{2}) + \epsilon \times a_x(t) ,

v_y(t + \frac{\epsilon}{2}) = v_y(t-\frac{\epsilon}{2}) + \epsilon \times a_y(t) ,

a_x(t) = -\frac{x(t)}{r(t)^3} ,

a_y(t) = -\frac{y(t)}{r(t)^3}

Eletrificação por fricção

novembro 10, 2008

Inicialmente nem o vidro nem a resina possuem propriedades elétricas. Esfrege um pedaço de vidro e um pedaço de resina e deixe sua superfície em contato. Eles ainda não exibirão nenhuma propriedade elétrica. Separe-os e agora eles irão atrair um ao outro.

Se um segundo pedaço de resina for esfregado com um segundo pedaço de vidro e se esses pedaços forem suspensos e colocados próximos do primeiro pedaço de resina e vidro, serão observados:

  1. Que os 2 pedaços de vidro se repelem;
  2. Que os 2 pedaços de resina se repelem;
  3. Que o vidro e a resina se atraem;

Este fenômeno de atração e repulsãqo são chamados fenômenos elétricos, e os corpos que exibem esses fonômenos são chamados de eletrificados, ou carregados com eletricidade. Corpos podem ser eletrificados de outras formas, assim como por fricção.

As propriedades elétricas dos pedaços de vidro são similares entre si, mas opostos aos dos pedaços de resina: o vidro atrai o que a resina repele e repele o que a resina atrai.

Nenhuma força, tanto de atração quanto de repulsão pode ser observada entre corpos eletrificados e corpos não eletrificados.

A natureza da luz

setembro 29, 2008

Até a época de Isaac Newton (1642-1727), muitos cientistas pensavam que a luz era formada de fluxos de partículas emitidos pelas fontes de luz. Galileo e outros tentaram, sem sucesso, medir a velocidade da luz. Por volta de 1665, algumas evidências de propriedades de ondas começaram a ser descobertas. Por volta do início do século 19, evidências de que a luz é uma onda começaram a crescer.

Em 1873 James Clerk Maxwell formalizou a existência de ondas eletromagnéticas e calculou sua velocidade de propagação. Este desenvolvidos, juntamente com os trabalhos experimentais de Heinrich Hertz iniciados em 1887, mostraram que a luz é uma onda eletromagnética.

As duas personalidades da luz

No entanto, isso não é toda a história da luz. Muitos efeitos associados com a emissão e absorsão da luiz revelaram que ela possui um aspecto de partícula, em que a energia carregada pela onda eletromagnética é empacotada em pacotes chamos de photons ou quanta. Esta aparente contradição entre propriedades da luz e partícula foram desfeitas em 1930 com o desenvolvido da eletrodinâmica quântica, uma teoria que inclui tanto as propriedades de onda como de partícula. A propagação da luz é melhor descrita pelo modelo ondulatório, mas o entendimento da emissão e absorção é entendido usando o modelo de partícula.

A fonte fundamental de toda radiação eletromagnética são cargas elétricas em movimento acelerado. Todos os corpos emitem radiação eletromagnética como resultado do movimento térmico de suas moléculas; esta radiação, chamada radiação térmica, é uma mistura de diferentes comprimentos de onda. Em termperaturas suficientemente grandes, toda matéria emite luz visível suficiente. Talvez o exemplo mais comum é o filamento de uma lâmpada incadescente, que usualmente opera em uma temperatura de cerca de 3000 ºC.

Outra fonte de luz que tem sido comentada atualmente é o laser. Em grande parte das fontes luminosas, a luz é emitida independetemente por diferentes átomos da fonte; no laser, em contraste, átomos são induzidos a emitir luz em uma forma coerente. O resultado é um feixe de radiação muito estreito, muito intenso e que se aproxima bastante de uma fonte monocromática.

Não importa qual é a fonte, a radiação eletromagnética viaja no vácuo sempre na mesma velocidade de 2,99792458 \times 10^8 m/s.

Fonte: University Physics, 12th edition, Hugh D. Young, Roger A. Freedman

Algumas constantes eletromagnéticas de alguns materiais

agosto 24, 2008

Constantes no espaço livre

Velocidade da luz ~ 3 \times 10^8 (m/s)
Permisividade elétrica ~ \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} (F/m)
Permeabilidade magnética 4\pi \times 10^{-7} (H/m)
Impedância intrínseca ~ 120\pi (\Omega)

Constantes físicas de elétrons e prótons

Massa do elétron em repouso 9,107 \times 10^{-31} (kg)
Carga do elétron -1,602 \times 10^{-19} (C)
Relação carga/massa do elétron -1,759 \times 10^{11} (C/kg)
Raio do elétron 2,81 \times 10^{-15} (m)
Massa do próton em repouso 1,673 \times 10^{-27} (kg)

Permeabilidade relativa

Ar 1,0
Bakelite 5,0
Vidro 4-10
Mica 6,0
Óleo 2,3
Papel 2-4
Polietileno 2,3
Poliestireno 2,6
Teflon 21
Água destilada 80
Água do mar 72

Condutividade (S/m)

Prata 6,17 \times 10^7
Cobre 5,80 \times 10^7
Ouro 4,10 \times 10^7
Alumínio 3,54 \times 10^7
Bronze 10^7
Ferro 10^7
Água do mar 4
Água fresca 10^{-3}
Óleo de transformador 10^{-11}
Vidro 10^{-12}
Procelada 2 \times 10^{-13}

Permeabilidade relativa

Materiais ferromagnéticos:

Níquel 250
Cobalto 600
Ferro $ 4000 $

Materiais paramagnéticos:
Alumínio 1,000021
Magnésio 1,000012
Titânio 1,00018

Materiais diamagnéticos:
Ouro 0,99996
Prata 0,99998
Cobre 0,99999

Fonte: Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng

Unidades fundamentais

agosto 23, 2008

As unidades das dimensões fundamentais são chamadas de unidades fundamentais. No Sistema Internacional de Unidades, metro, kilograma, segundo, ampere, kelvin e candela são as unidades fundamentais para comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura e intensidade luminosa. As definições para essas unidades são:

Metro (m): Igual ao comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante o tempo de \frac{1}{299.792.458} segundos.

Kilograma (kg): Igual a massa do protótipo de kilograma. Esse protótipo encontra-se na França e é o único artefato utilizado na definição das unidades fundamentais.

Segundo (s): Igual a duração de 9.192.631.770 períodos de radiação correspondendo a transição entre 2 níveis hiperfinos do estado fundamental do césio 133. O segundo foi formalmente definido como \frac{1}{86.400} do dia solar. A taxa rotação da Terra está gradualmente diminuindo, enquanto a transição atômica do césio é muito mais constante e por isso é o hoje o padrão. Os 2 padrões diferem de apenas 1 segundo por ano.

Ampere (A): Igual a corrente elétrica que flui em cada um de 2 fios paralelos infinitesimais no vácuo separados por 1 metro e que produz uma forma de 200 nanonewtons por metro.

Kelvin (K): Temperatura igual a \frac{1}{273,16} do ponto triplo da água. Note que o sinal de grau (º) não é utilizado com kelvins.

Candela (cd): Radiação de corpo negro emitida por \frac{1}{600.000} m^2 da platina quando em seu ponto de fusão na pressão de 1 atm.

Fonte: Electromagnetics with Applications, 5th Edition, Kraus/Fleish

Dimensões e unidades

agosto 21, 2008

Uma dimensão define alguma característica física. Por exemplo, comprimento, massa, tempo, velocidade e força são dimensões. As dimensões de comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura e intensidade luminosa são consideradas as dimensões fundamentais pois outras dimensões podem ser definidas em termos delas. A escolha é arbitrária, embora conveniente. Por exemplo, área é uma dimensão secundária que pode ser expressa em termos da dimensão comprimento. Se a dimensão de comprimento é L, a dimensão de área é L^2 .

Uma unidade é um padrão ou referência em que uma dimensão pode ser expressa numericamente. Então, o metro é uma unidade em que a dimensão comprimento pode ser expressa, o kilograma é uma unidade em que a dimensão massa pode ser expressa e assim por diante. Por exemplo, o comprimento (dimensão) de uma escada por ser 2 metros (unidade) e sua massa (dimensão), 10 kilogramas (unidade).

Por que os planetas são esféricos?

agosto 8, 2008

Já pararam para pensar por que os planetas tem o forma esférica?

Isso ocorre por causa da gravidade. Em corpos muitos grandes, cada partícula do corpo atrai todas as outras partículas e então essas partículas tendem a mover de forma a minimizar a distância entre elas. Como resultado, o corpo naturalmente tende a assumir o formato esférico, da mesma forma que um amontoado de argila se torna esférico se você apertar ele com a mesma força em todos os lados.

Esse efeito é reduzido em em corpos celestes de menor massa, pois a atração gravitacional é menor e por isso, nesse caso, eles não tendem a ser esféricos. A figura abaixo mostra Júpter e Amalthea, uma lua de Júpter. Amalthea possue 3,8 x 10^{-9} da massa de Júpter.

Júpter e Amalthea

Fonte: University Physics with Modern Physics, 12a. edição. Autores: Hugh D Young e Roger A Freedman.

Curso Online de Fundamentos de Física

maio 14, 2008

A Universidade de Yale oferece o curso online “Fundamentals of Physics with Professor Ramamurti Shankar”. O curso fornece uma introdução aos princípios e métodos da física e está disponível no site através do site:

http://open.yale.edu/courses/physics/index.html

As aulas são em inglês, fornecidas em vídeo (mov) e áudio (mp3) e texto (transcrição em html).

Por que o ouro é usado no lugar da prata e cobre em alguns contatos sendo que ele tem maior resistividade elétrica?

janeiro 24, 2008

Essa foi uma pergunta respondida na revista Ciência Hoje, vol, 41 de setembro de 2007.

A revista explica que a resistividade elétrica do ouro realmente é maior que a da prata e do cobre, ou seja, o ouro não é um melhor condutor de eletricidade do que esses materiais. O que acontece é que o ouro é mais resistente à corrosão.

A prata e o cobre são mais propensos à corrosão do que o ouro e, nesse caso, há formação de óxidos metálicos em sua superfície. Esses óxidos são compostos isolantes, o que aumenta consideravelmente a resistência elétrica dos contatos. Por isso, para aplicações em que é necessário que a qualidade do contato elétrico não seja diminuída ao longo do tempo, deve-se utilizar ouro em vez da prata ou cobre.