Precisei escrever uma rotina para escrever números por extenso de até R$ 999.999,99 por extenso. Fiz um programinha em Java e depois converti para VBA, para ser usado no Excel. A rotina não está otimizada e nem muito genérica. Mas se alguém precisar de algo mais genérico (para números maiores), é só pegar o código e estender, está bem simples.
Código em Java:
Saída:
Código em VBA:
Como usar no Excel:
Recentemente precisei calcular a área de um polígono irregular. Mas como? Fiz uma pesquisa sobre geometria computacional, e uma das formas que encontrei foi em dividir o polígono em vários triângulos e, após isso, calcular a área de cada triângulo. Tudo bem, mas como dividir o polígono em vários triângulos menores? Por exemplo, como dividir automaticamente o polígono da figura 1 em triângulos? Existem algoritmos para isso, para fazer a triangulação de polígonos.
Figura 1 – Um polígono dividido em vários triângulos
Basicamente o algoritmo funciona da seguinte forma. Divide o polígono em vários polígonos monotone* e depois faz a triangulação de cada um desses algoritmos usando um algoritmo para fazer a triangulação.
Essa é uma das formas de se fazer isso. Uma outra forma é baseada na técnica descrita no post “Como calcular computacionalmente o valor de PI“. Nesse caso podemos fazer o seguinte. Desenhamos o polígono em cima de um outro polígono já conhecido, no caso um retângulo. Sabemos como calcular a área do retângulo. Depois disso, começamos a gerar pontos aleatórios dentro do retângulo (o polígono que queremos calcular a área está em cima do retângulo). Para cada ponto, vemos se o ponto caiu dentro do polígono irregular. Se dividirmos a quantidade de pontos que caiu dentro do polígono pela quantidade de pontos gerada, temos a relação entre a área do polígono e a área do retângulo. Como a área do retângulo é conhecida, fica simples calcular a área do polígono, basta fazer uma multiplicação.
No entanto, fica a questão: Como saber se um ponto está dentro do polígono? Para efeitos práticos para o cálculo da área dessa forma, podemos traçar uma semi-reta paralela ao eixo x em direção a +x. Se essa semi-reta interceptar um número ímpar de arestas, podemos dizer que ele está dentro do polígono – Figura 2.
Figura 2 – Ponto dentro e fora do polígono
Agora que sabemos quando um ponto está dentro de um polígono, precisamos saber que essa semi-reta interceptou uma das arestas. Isso pode ser feito da seguinte forma:
Primeiro, calculamos a equação da aresta. Considerando que os vértices da aresta são (x1, y1) e (x2,y2), temos que a equação é:
Aplicando a coordenada y do ponto nessa equação, temos um valor de x. Se esse valor for maior que o valor da coordenada x do ponto, sabemos então que o ponto está a esquerda da aresta.
Além disso, se verificarmos que a coordenada y está entre min(y1,y2) e max(y1,y2), então sabemos que a semi-reta intercepta a aresta.
Com isso já podemos calcular a área de um polígono irregular.
Para ilustrar, segue um código Java para isso.
Classe Ponto
Classe Aresta
Classe Poligono
Como primeiro teste, desenhei um polígono e gerei vários pontos aleatórios para testar se o método para verificar se está dentro do polígono está funcionando. Os pontos verdes estão fora do polígono e os amarelo dentro. Desenhei pequenos círculos em volta do ponto gerado, para aproveitar uma rotina que já tenho aqui. Podemos ver que a rotina se mostra adequada para o problema.
Figura 3 – Teste do método para verificar se pontoe stá dentro do polígono
Resta agora testar se isso funciona para calcular a área. Para isso, vamos criar um quadrado de lado 1 e gerar pontos aleatórios dentro de um quadrado de lado 2 e calcular a relação entre a quantidade de pontos dentro do quadrado e a quantidade de pontos gerada. Esse valor multiplicado pela área do quadrado maior (4), deve dar a área do quadrado, que sabemos que é 1. Na verdade, como esse método não é exato, a área deve ser próxima de 1, e não exatamente 1. Segue trecho de código usado para teste:
Uma das saídas desse programa é mostrada na figura abaixo. Note que o valor da área calculado por esse método é muito próximo ao valor real. Na verdade, podemos aumentar a precisão do algoritmo aumentando o número de pontos gerados.
Figura 4 – Resultado do programa
A Figura 5 mostra uma figura de exemplo para esse teste, com os pontos gerados:
Figura 5 – Exemplo do teste efetuado
* – optei por não fazer a tradução dessa palavra pois não sei como ela é traduzida em geometria computacional.
Probabilidade é um assunto interessante. Em um post antigo falamos sobre o problema dos aniversários e vimos que para um grupo de apenas 30 pessoas a probabilidade de termos 2 aniversariantes no mesmo dia é de mais de 70%, o que não é muito o senso comum.
Outro problema interessante de probabilidade é o problema das 3 portas. Um apresentador de um programa de televisão chama para o palco uma pessoa que deve escolher entre 3 portas. Uma dessas portas tem prêmios e as outras 2 não tem nada. Inicialmente a pessoa escolhe uma porta e, em seguida, o apresentador abre uma porta vazia. Como sempre tem 2 portas que não tem nada atrás delas, sempre haverá uma porta para o apresentador abrir. Feito isso ele pergunta se você quer trocar de porta. E agora?
A grande maioria das pessoas nao troca de porta. Talvez por supertição, pois escolheu seu número da sorte. Mas o que é melhor, trocar de porta ou não? Ou tanto faz? Vamos resolver o problema sem fazer contas…..
Obviamente a chance de você acertar a porta na primeira escolha é de 1/3, 33,33%. Vamos verificar então o que acontece se você trocar de porta.
Inicialmente temos 3 portas, P1, P2 e P3. E você escolheu a porta P1. Temos 3 possibilidades:
Observe que das 3 possibilidades, 2 são vencedoras. Sendo assim, a probabilidade de ganhar o prêmio caso você troque de porta é de 2/3, ou 66,67%, ou seja, o dobro de chance de levar para casa o prêmio.
Bom, para facilitar, vamos ver um pequeno programa em Java que faz uma simulação sobre esse problema e nos mostra o resultado. É mais fácil de acreditar…
Obs.: O código acima foi construído de forma a diminuir seu tamanho para publicação nesse blog, por isso o uso de operadores não muito indicado por alguns livros, como o operador ternário (?:).
No mundo da computação é muito comum vermos números escritos em sistemas de numeração diferentes do sistema decimal. Atenção especial são dadas para os sistemas de base 2 (binário) e de base 16 (hexadecimal). Mas para muitos de nós o sistema decimal é mais palpável do que qualqer outro. Você sabe como converter qualquer sistema escrito numa base b qualquer para o sistema decimal?
Um número N em uma base b qualquer pode ser escrito da seguinte forma:
onde 
Para converter o número 
onde 
Para ilustrar, o seguinte trecho de código na linguagem Java converte uma string que possui os números em binário para um número em decimal:
A forma mais comum de se obter números pseudorandômicos em um computador digital é usando o seguinte gerador:
onde 
Bons valores para M, Asão:
M =
A = 764261123
A implementação dessa rotina em matlab é
R0=1;
A=764261123;
C=0;
M=2^31;
R=zeros(1000,1);
R(1)=mod(A*R0+C,M);
for i=2:1000
R(i)=mod(A*R(i-1)+C,M);
end
plot(R);
Esse mesmo código, em linguagem Java, é
double[] R = new double[1000];
double A=764261123;
double C=0;
double M=Math.pow(2, 31);
R[0] = 1;
for (int i=1; i<1000; i++)
R[i]=(A*R[i-1]+C) % M;
Cabe ressaltar que esse gerador é um gerador de números pseudorandômicos. Isso significa que, dada as mesmas condições (semente, A, C e M), a mesma seqüência será gerada. Verdadeiros geradores randômicos devem usar eventos realmente randômicos, como por exemplo o ruído de dispositivos eletrônicos ou o sinal captado por um microfone em um ambiente natural.
Fonte: Random Signal Analysis in Engineering Systems, John J. Komo
Apesar de existirem vários meios de se obter o valor de 
Obviamente, a relação entre 
Ou seja,
Feito isso, para calcular
amostras = 5000000; px = 2 * rand(amostras,1) - 1; py = 2 * rand(amostras,1) - 1; ptosDentroDoCirculo = sum(px.^2 + py.^2 <= 1); estimadorPi = 4 * ptosDentroDoCirculo/amostras
Em Java, este mesmo código pode ser escrito como
int amostras = 5000000;
int pontosDentroDoCirculo = 0;
for (int i = 0; i < amostras; i++) {
double px = 2*Math.random()-1;
double py = 2*Math.random()-1;
if (Math.pow(px,2) + Math.pow(py,2) <= 1) {
pontosDentroDoCirculo++;
}
}
System.out.println("PI: " + 4*(double)pontosDentroDoCirculo/(double)amostras);
Apesar de não ser a forma mais efeciente de se calcular
Demônio de Maxwell 