Movimentos planetários

Como podemos analisar o movimento de um planeta ao redor do Sol? Vamos verquando podemos chegar a uma aproximação de uma elipse para a órbita. Devemos supor que o Sol é infinitamente pesado, de um modo que não devemos incluir o seu movimento. Suponha que um planeta começa em uma certa posição e está se movendo com uma certa velocidade; ele vai ao redor do Sol em alguma curva, e devemos tentar analisar, pelas leis de Newton do movimento e sua lei da gravitação, que curva é esta. Como? Em um dado momento o planeta está em alguma posição no espaço. Se a distância radial do Sol a essa posição é chamada de r, então sabemos que existe uma força diretamente nele que, de acordo com a lei da gravidade, é igual a uma constante vezes o produto da massa do Sol e a massa do planeta dividida pelo quadrado da distância. Para continuar a analisar isto devemos achar que aceleração será produzida pela força. Devemos precisar das componentes da aceleração ao longo das duas direções, que chamamos de x e y. Assim se especificarmos a posição do planeta em um dado momento ao darmos x e y (devemos supor que z é sempre zero porque não existe força na direção z, e se não existe velocidade inicial nessa direção não exisitirá nada a ser feito com z a não ser colocá-lo igual à zero), a força está direcionada ao longo da linha que junta o planeta ao Sol, como na Figura 1.

figura1

Figura 1 – A força da gravidade em um planeta

Dessa figura, vemos que a componente horizontal da força está relacionada à força total do mesmo modo que a distância horizontal x está relacionada à hipotenusa total r, porque os dois triângulos são semelhantes. Também, se x é positivo, Fx é negativo. Isto é, Fx/|F| = -x/r, ou Fx=-|F|x/r = -GMmx/r^3 . Agora, usamos as leis da dinâmica para acharmos que essa componente da força é igual à massa do planeta vezes a taxa de mudança de sua velocidade na direção x. Assim, achamos as seguintes leis:

m(\frac{dv_x}{dt}) = -\frac{GMx}{r^3}

m(\frac{dv_y}{dt}) = -\frac{GMy}{r^3}

r = \sqrt{x^2 + y^2}

Esse, então, é o conjunto de equações que devemos resolver. Novamente, com o objetivo de simplificar o trabalho numérico, devemos supor que a unidade de tempo, ou a massa do Sol, foi ajustada (ou estamos com sorte) tal que GM \equiv 1 . Para o nosso exemplo específico, devemos supor que a posição inicial do planeta é em x = 0,5 e y =0 , e que a velocidade está toda na direção y no começo, e é de magnitude 1,63. Agora, como fazemos os cálculos? Fazemos uma tabela com as colunas de tempo, posição x, velocidade x e a aceleração x, posição y, velocidade y e aceleração y. Com o objetivo de obter as acelerações vamos precisar das equações acima. Ela nos diz que a aceleração na direção x, a_x é -\frac{x}{r^3} , e a aceleração na direção y é -\frac{y}{r^3} , e que r é \sqrt{x^2 + y^2} . Assim, dado x e y, devemos fazer um pouco de cálculo, pegando a raiz quadrada da soma dos quadrados, achar r e então nos preparamos para calcular as duas acelerações, é também útil calcular \frac{1}{r^3} .

Nossos cálculos entao se procedem seguindo os seguintes passos, usando os intervalos de tempos \epsilon = 0,1 : Valores iniciais em t = 0 :

x(0) = 0,500         y(0) = 0,000

v_x(0) = 0,000         v_y(0) = +1,630

Disto achamos:

r(0) = 0,500        \frac{1}{r^3} = 8,000

a_x = -4,000     a_y = 0,000

Assim podemos calcular as velocidades v_x(0,05) e v_y(0,05) :

v_x(0,05) = 0,000 - 4,000 \times 0,050 = -0,200

v_y(0,05) = 1,630 + 0,000 \times 0,050 = +1,630

Agora nosso cálculo principal começa:

x(0,1) = 0,500 - 0,20 \times 0,1 = 0,480

y(0,1) = 0,0 + 1,63 \times 0,1 = 0,163

r = \sqrt{0,489^2 + 0,163^2}

\frac{1}{r^3} = 7,67

a_x(0,1) = 0,480 \times 7,67 = -3,68

a_y(0,1) = -0,163 \times 7,67 = -1,256

v_x(0,15) = -0,200 - 3,68 \times 0,1 = -0,568

v_y(0,15) = 1,630 - 1,26 \times 0,1 = 1,505

x(0,2) = 0,480 - 0,568 \times 0,1 = 0,423

y(0,2) = 0,163 + 1,50 \times 0,1 = 0,313

etc.

Desta forma, obtemos os números da Tabela 1, e em mais ou menos 20 passos seguimos o planeta em metade de sua órbita ao redor do Sol!

Tabela 1 – Solução do movimento

tabela1

Na Figura 2 estão graficadas as coordendas x e y dadas na Tabela 1. Os pontos representam as posições em tempos sucessivos separados por um décimo de uma unidade; vemos que no começo o planeta se move rapidamente e ao final ele se move lentamente, e então o formato da curva é determinado. Assim, vemos que realmente sabemos como calcular o movimento dos planetas!

figura2

Figura 2 – O movimento calculado de um planeta ao redor do Sol.

Observações:

  1. Esse texto foi retirado do livro “The Feynman Lectures on Physics – Volume I“;
  2. Os dados da Tabela 1 e da Figura 2 não são as que estão no livro. Elas foram reproduzidas no Excel e, por isso, existem pequenas diferenças de arredondamentos entre os dados do livro e os reproduzidos aqui;
  3. O mesmo raciocínio utilizado aqui pode ser usado para qualquer tipo de movimento mais complexo;
  4. As equações para o cálculo de x(t), v(t), a(t) são:

x(t + \epsilon) = x(t) + \epsilon \times v_x(t + \frac{\epsilon}{2}) ,

y(t + \epsilon) = y(t) + \epsilon \times v_y(t + \frac{\epsilon}{2}) ,

v_x(t + \frac{\epsilon}{2}) = v_x(t-\frac{\epsilon}{2}) + \epsilon \times a_x(t) ,

v_y(t + \frac{\epsilon}{2}) = v_y(t-\frac{\epsilon}{2}) + \epsilon \times a_y(t) ,

a_x(t) = -\frac{x(t)}{r(t)^3} ,

a_y(t) = -\frac{y(t)}{r(t)^3}

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Uma resposta to “Movimentos planetários”

  1. Alfredo Castro Says:

    Sou autor de uma nova teoria sobre a estabilidade orbital permanente. Leia “Estabilidade Orbital Astronômica”, webartigos.com , Alfredo Castro.

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