Exponenciais de números racionais

Qual é o significado de x^p, onde p não é necessariamente um inteiro positivo? O que significa multiplicar x por ele mesmo p vezes nesse caso?

O ponto chave é lembrarmos como funciona quando p é um número inteiro positivo:

x^mx^n = x...x ( m vezes ) x...x ( n vezes ) = x^{m+n}

ou seja, os expoentes são somados. Podemos considerar que essa expressão é verdadeira mesmo para expoentes que não sejam inteiros positivos. Com isso, podemos definir x^{\frac{1}{p}}, onde p é um inteiro positivo, como o número que satisfaz:

x^{\frac{1}{p}}...x^{\frac{1}{p}} ( p vezes ) = x

Dessa forma, x^{\frac{1}{p}} é definido como o o número que multiplicado por ele mesmo px.

De forma semelhante, podemos definir expoentes negativos. O que significa x^{-m} , onde m é um inteiro? Considere o cálculo de x^nx^{-m}:

x^nx^{-m} = x^{n-m} = x...x (n-m vezes )

Como x^n = x...x (n vezes ), se definirmos x^{-m} como:

x^{-m} = \frac{1}{x...x} (m vezes )

o resultado desejado é verdadeiro. Ou seja, o expoente negativo tem o mesmo significado que o inverso de expoentes positivos. Daí segue que:

x^0 = x^mx^{-m} = x^m\frac{1}{x^{m}} = 1

Dessa forma, a exponencial de qualquer número racional da forma \frac{p}{q} é definida.

Fonte: Basic Training in Mathematics, A Fitness Program for Science Students, R. Shankar

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Uma resposta to “Exponenciais de números racionais”

  1. joaquim jaime Says:

    gostei muito dessa materia .
    e muito obrigado a toda equipe da google etodos aqueles k estao a ler est comentario.

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